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	zurück zur Übersicht Prüfungsprotokoll Hauptdiplomprüfung Mathematik Fach: Numerik I gesamtes Protokoll     (1)   (2)   (3)   (4)   (5)   (6) Fragenkatalog: Newton-Verfahren mehrdimensional Sei D  Rn offene Menge und F: DRn stetig differenzierbare Abbildung, ferner sei die Jacobi-Matrix F' (x (k)) regulär für alle k  N0. Iteration: x (0)  D x (k+1) = x (k) – (F' (x (k) ))–1 • F (x (k) )    (k  N0)   Konvergenz über Satz von Newton-Kantorowitsch D  Rn sei offene Menge und D0  D konvex. Ferner sei F: DRn gegeben mit (i) F ist auf D stetig und auf D0 differenzierbar (ii) Es existiert ein x (0)  D 0 und Konstanten r, , , , h = (1/2) •       mit Br (x (0)) = { x  Rn ; || x – x (0) || < r }  D0, 0 < h < 1 und r =  / (1 – h) (iii) || F' (x) – F' (y) ||   • || x – y ||    für alle x, y  D0 (iv) [F' (x)]–1 existiert und || [F' (x)]–1 ||     gilt für alle x  D0 (v) || [F' (x (0))]–1 • F (x (0)) ||   Dann gelten (1) Für die Punkte x (0), x (k+1) = x (k) + [F' (x (k) )]–1 • F (x (k) )    mit k  N0 gilt: x (k)  Br (x (0) ) für alle k  N0 (2) Es existiert x* = lim k x (k) und es gilt: x*  Br (x (0) ) und F (x*) = 0 (3) Die Vektorfolge x (0), x (k+1) (s.o.) mit k  N0 hat den Konvergenzgrad  = 2 und es gilt die Fehlerabschätzung (Keine Sorge, in der Prüfung war es nicht ganz so ausfü.) Was ist das für eine Kugel Br (x (0) ), wieso brauchen wir die? Anhand der Skizze gezeigt, dass es wichtig ist, dass man in der Nähe der gesuchten Nullstelle startet: Sonst läuft man Gefahr, eine andere Nullstelle zu erwischen.   zurück zur Übersicht        gesamtes Protokoll     (1)   (2)   (3)   (4)   (5)   (6)   Feel free to send me email: maria@oelinger.de
	© 2000 Maria Oelinger cand. math. Prüfungsprotokoll Letzte Änderung: 27.10.2000 address: http://www.oelinger.de/maria/numerik/protokoll_5.htm