http://www.oelinger.de Home Maria Oelinger   sitemap
	zurück zur Übersicht Prüfungsprotokoll Hauptdiplomprüfung Mathematik Fach: Numerik I Prüfer: Prof. Dr. F. Pittnauer, Universität Duisburg Datum: 24.10.2000 Dauer: ca. 30 Min Note: sehr gut gesamtes Protokoll     (1)   (2)   (3)   (4)   (5)   (6) Fragenkatalog: 5-Min-Thema: Banachscher Fixpunktsatz mit Beweis. Sei f eine stark kontrahierende Abbildung eines vollständigen metrischen Raumes (X, d) in sich. Dann besitzt f genau einen Fixpunkt in X. Existenz Idee: Zeigen, dass I (f, x 0) eine Cauchy-Folge auf X ist und damit konvergiert. Wähle x 0  X und bilde I (f, x 0). Da f kontrahierend ist, gilt (wegen d (x n, x n – 1) = d (f (x n – 1), f (x n))  ( f) n • d (x n – 1, x n) ) : d (x n, x n + 1)    f • d (x n – 1, x n)  …  ( f) n • d (x 0, x 1) Sei nun o. B. d. A. m > n: d (x n, x m)  d (x n, x n + 1) + ... + d (xm – 1, x m) Dreiecksungleichung für Metrik d  (( f) n + ( f) n + 1 … + ( f) m – 1 ) • d (x 0, x 1) nach obiger Abschätzung = ( f) n • [1 + ( f) 1 + … + ( f) m – n – 1 ] • d (x 0, x 1) = ( f) n • d (x 0, x 1) • =0,…,m–n–1( f)   ( f) n • d (x 0, x 1) • =0,…,( f)  positive Werte zur Summe addiert =  •d (x 0, x 1) geometrische Reihe D.h. der Abstand der Folgeglieder wird beliebig klein (da 0  f < 1) und damit =>   I (f, x 0) ist Cauchy-Folge =>   es ex. lim n x n = x*  X x* = lim n x n = lim n f (x n – 1) = f (lim n x n – 1 ) = f (x*) Eindeutigkeit x*, y*  X seien Fixpunkte. Dann gilt: d (x*, y*) = d [f (x*), f (y*)]   f • d (x*, y*) <=> (1 –  f) • d (x*, y*)  0     (1 –  f) > 0, da 0  f) < 1 und d (x, y)  0, da d Metrik ist d (x*, y*) = 0   <=>   x* = y*         zurück zur Übersicht        gesamtes Protokoll     (1)   (2)   (3)   (4)   (5)   (6)   Feel free to send me email: maria@oelinger.de
	© 2000 Maria Oelinger cand. math. Prüfungsprotokoll Letzte Änderung: 27.10.2000 address: http://www.oelinger.de/maria/numerik/protokoll_1.htm