Home Maria Oelinger Home Oelinger sitemap a – z

Übersicht     Rommelfanger     2.1     Lai, Hwang     Begriffe + Definitionen

2.2 Kleiner-Gleich-Relation 

Optimierungsmodell KO2:

Die fuzzifizierte Version des Optimierungsmodells KO1 ist dann das Optimierungsmodell KO2 (Fuzzy):

z(x) =    e_j x_j    K

unter Beachtung der Restriktionen

 a_ij x_j    b_i,    j = 1,..,m

x_j  0,   j = 1,...,n.

Dies liest sich folgendermaßen:

Die Zielfunktion    z(x) =    e_j x_j    sollte "wirklich kleiner oder gleich" sein einem Wert K (Kapazitätsgrenze), und die Restriktionen     a_ij x_j    sollten "wirklich kleiner oder gleich" sein den rechten Seiten   b_i.

   Oder anders ausgedrückt: Die Ungleichungen sollten möglichst gut erfüllt sein.
Wir formulieren den Ausdruck "wirklich kleiner oder gleich", geschrieben , auf folgende Weise:

Sei   H := (h_kj)   die Matrix, die man erhält, indem man zur Matrix   A = (a_ij)    den Zeilenvektor   (e_j)   als erste Zeile hinzufügt    (i = 1,...,m; j = 1,...,n; k = 1,...,m+1).

Wir definieren die Funktion

zk((Hx)k) :=		1		für   (Hx)k  wk
		(Hx)k-wk 1 -    k		für   wk  <   (Hx)k  wk +  k
		0		für   (Hx)k  >  wk +  k

wobei   w_k   der Vektor der ursprünglichen rechten Seiten   b_i   ist, ergänzt durch den Wert   K   , d.h.

w^T = (w₁, ..., w_m+1)^T = (K, b₁, ..., b_m)^T

und _k die zulässigen Toleranzen für Überschreitungen der Restriktionen sind.

Sollen alle Restriktionen von Optimierungsmodell   KO2    erfüllt werden, so ergibt sich hieraus eine neue Zielfunktion, und zwar die Fuzzy-Entscheidung

µ_D(x) =  z_k((Hx)_k).

Gesucht ist die optimale Lösung     x ^* =   (x₁^*,...,x_n^* ),     so dass

 z_k((Hx)_k)    —>   Max_x

oder, anders ausgedrückt:

 (w_k /  _k    –    (Hx)_k /  _k) =:  (w_{_k} – (Hx)_{_k})    —>   Max _{x = (x1,…,xn)}

Dies ist äquivalent zu:

so, dass eine optimale Lösung hiervon auch Optimierungsmodell   KO2   optimal löst.

Übersicht     Rommelfanger     2.1     Lai, Hwang     Begriffe + Definitionen

Feel free to send me email: maria@oelinger.de